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Micron Document

<!DOCTYPE html>

<title>Heliumatom</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Heliumatom</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Ein Heliumatom ist ein Atom des <a href="Chemisches_Element" title="Chemisches Element">chemischen Elements</a> <a href="Helium" title="Helium">Helium</a>. Es ist zusammengesetzt aus zwei <a href="Elektron" title="Elektron">Elektronen</a>, die durch die <a href="Elektromagnetische_Wechselwirkung" title="Elektromagnetische Wechselwirkung">elektromagnetische Kraft</a> an den <a href="Atomkern" title="Atomkern">Atomkern</a> gebunden sind, der aus zwei <a href="Proton" title="Proton">Protonen</a> und (je nach <a href="Isotop" title="Isotop">Isotop</a>) einem oder zwei <a href="Neutron" title="Neutron">Neutronen</a> besteht, die durch die <a href="Starke_Wechselwirkung" title="Starke Wechselwirkung">starke Kraft</a> zusammengehalten werden.

Anders als für <a href="Wasserstoff" title="Wasserstoff">Wasserstoff</a> gibt es bislang keine geschlossene Lösung der <a href="Schr%C3%B6dingergleichung" title="Schrödingergleichung">Schrödingergleichung</a> für das Heliumatom, d. h. die Energieniveaus lassen sich nicht exakt berechnen. Es gibt jedoch zahlreiche Näherungen, wie die <a href="Hartree-Fock-Methode" title="Hartree-Fock-Methode">Hartree-Fock-Methode</a>, zum Abschätzen der <a href="Energieniveau" title="Energieniveau">Energieniveaus</a> und der <a href="Wellenfunktion" title="Wellenfunktion">Wellenfunktion</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften_der_Atomhülle">Eigenschaften der Atomhülle</h2></div>

Helium ist im <a href="Periodensystem" title="Periodensystem">Periodensystem</a> das zweite und letzte Element der ersten Periode. Da innerhalb einer Periode die <a href="Atomradius" title="Atomradius">Atomradien</a> mit zunehmender Elektronenzahl abnehmen und Wasserstoff und Helium die einzigen Elemente sind, in denen nur die erste <a href="Elektronenkonfiguration" title="Elektronenkonfiguration">Elektronenschale</a> besetzt ist, hat Helium von allen Elementen den kleinsten <a href="Atomradius" title="Atomradius">Atomradius</a> und die höchste <a href="Ionisierungsenergie" title="Ionisierungsenergie">Ionisierungsenergie</a>.

Zwischen Heliumatomen wirken nur <a href="Van-der-Waals-Kr%C3%A4fte" title="Van-der-Waals-Kräfte">Van-der-Waals-Kräfte</a>. Aufgrund der Kleinheit der Atome können die Elektronenhüllen nur sehr geringfügig polarisiert werden. Daher sind die ohnehin sehr schwachen Van-der-Waals-Kräfte im Fall von Helium besonders klein. Dies erklärt den extrem niedrigen <a href="Siedepunkt" title="Siedepunkt">Siedepunkt</a> von 4,2 <a href="Kelvin" title="Kelvin">K</a> (−268,8 °C).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Elektronenzustände">Elektronenzustände</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ortho-_und_Parahelium">Ortho- und Parahelium</h3></div>

Im Grundzustand befinden sich die Elektronen im Zustand 1s2, d. h. sie besetzen die beiden einzigen möglichen Zustände mit der <a href="Hauptquantenzahl" class="mw-redirect" title="Hauptquantenzahl">Hauptquantenzahl</a> 1 und dem Bahndrehimpuls 0. Die Spins der Elektronen sind antiparallel und addieren sich zum Gesamtspin S = 0 (<a href="Singulett" class="mw-redirect" title="Singulett">Singulett</a>-Zustand 1S0).

Der energetisch niedrigste Zustand mit S = 1 (Triplett-Zustand 3S1) hat die Elektronenstruktur 1s2s und liegt um 19,8 eV darüber.

Zustände mit S = 0 nennt man Parahelium, solche mit S = 1 Orthohelium. Übergänge zwischen Ortho- und Parahelium sind stark unterdrückt („<a href="Verbotener_%C3%9Cbergang" title="Verbotener Übergang">verboten</a>“). Der niedrigste Orthohelium-Zustand ist daher vergleichsweise langlebig.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quantenmechanische_Beschreibung">Quantenmechanische Beschreibung</h3></div>

Die <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">quantenmechanische</a> Beschreibung des Heliumatoms ist von besonderem Interesse, weil es das einfachste Mehrelektronenatom ist und auch zum Verständnis der <a href="Quantenverschr%C3%A4nkung" title="Quantenverschränkung">Quantenverschränkung</a> benutzt werden kann.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

Der <a href="Hamiltonoperator" title="Hamiltonoperator">Hamiltonoperator</a> für Helium, betrachtet als <a href="Dreik%C3%B6rperproblem" title="Dreikörperproblem">3-Körper-System</a> (bestehend aus zwei Elektronen und dem <a href="Atomkern" title="Atomkern">Kern</a>), kann im <a href="Schwerpunktsystem" title="Schwerpunktsystem">Schwerpunktsystem</a> geschrieben werden als

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=\sum _{i=1,2}{\Bigg (}-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla _{r_{i}}^{2}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{i}}}{\Bigg )}-{\frac {\hbar ^{2}}{M}}\nabla _{r_{1}}\cdot \nabla _{r_{2}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{12}}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67a420dfee239a07cdcbf25f8da59ea76d55db35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:68.056ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle H({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=\sum _{i=1,2}{\Bigg (}-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla _{r_{i}}^{2}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{i}}}{\Bigg )}-{\frac {\hbar ^{2}}{M}}\nabla _{r_{1}}\cdot \nabla _{r_{2}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{12}}},}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> die Elektronenmasse, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> die <a href="Kernmasse" title="Kernmasse">Kernmasse</a>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu ={\tfrac {mM}{m+M}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu ={\tfrac {mM}{m+M}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c203f6022bc306b2b4348553d21e2fc5fede0dc1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:9.784ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \mu ={\tfrac {mM}{m+M}}}" loading="lazy"> die <a href="Reduzierte_Masse" title="Reduzierte Masse">reduzierte Masse</a> eines Elektrons in Bezug auf den Kern, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4421c96fc3daff719301b94aa21ef94e2235f871.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.976ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}}" loading="lazy"> die Elektron-Kern-Abstands<a href="Vektor" title="Vektor">vektoren</a> sind und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{12}=|{\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{2}}}|}">

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{12}=|{\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{2}}}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/000f00c1084d4596ab8ed03802c814c343a7f34c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.805ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle r_{12}=|{\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{2}}}|}" loading="lazy"> ist. Die <a href="Kernladungszahl" class="mw-redirect" title="Kernladungszahl">Kernladungszahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> von Helium beträgt 2. In der Näherung eines unendlich schweren Kerns <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85d57111764dcad6824454a90683185154ad3065.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.864ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M=\infty }" loading="lazy"> erhält man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu =m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b19de11de2a433b4e146cef191a20a9bec7843c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.541ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu =m}" loading="lazy">, und der Massen-Polarisations-Term <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\hbar ^{2}}{M}}\nabla _{r_{1}}\cdot \nabla _{r_{2}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\hbar ^{2}}{M}}\nabla _{r_{1}}\cdot \nabla _{r_{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/750790ccd698571989e296b49d4d3770caf124b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.764ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\hbar ^{2}}{M}}\nabla _{r_{1}}\cdot \nabla _{r_{2}}}" loading="lazy"> verschwindet. In <a href="Atomare_Einheiten" title="Atomare Einheiten">atomaren Einheiten</a> vereinfacht sich der Hamiltonoperator zu

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{1}}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{2}}^{2}-{\frac {Z}{r_{1}}}-{\frac {Z}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{12}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15273fd5bc1a871cf04ee45269cdab87d8ac5bed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:47.882ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle H({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{1}}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla _{r_{2}}^{2}-{\frac {Z}{r_{1}}}-{\frac {Z}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{12}}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Es muss betont werden, dass der zugrundeliegende Raum nicht der gewöhnliche Raum, sondern ein 6-dimensionaler Konfigurationsraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})}">

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b798dccd66ac2f9f7d813283d71f27a7ad2b616.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.785ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})}" loading="lazy"> ist.

In dieser Näherung (<a href="Pauli-Gleichung" title="Pauli-Gleichung">Pauli-Approximation</a>) ist die Wellenfunktion ein <a href="Spinor" title="Spinor">Spinor</a> zweiter Stufe mit 4 Komponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi _{ij}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})}">

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</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi _{ij}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e67a778c58092a0e7f2f03b5aa2a721af0d0367.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.775ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \psi _{ij}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})}" loading="lazy">, wobei die Indizes

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i,j=\,\uparrow ,\downarrow }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0a692b056589504811879571d00c28c286921b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.994ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i,j=\,\uparrow ,\downarrow }" loading="lazy"> die <a href="Spin" title="Spin">Spin</a>-Projektion der Elektronen im gewählten Koordinatensystem darstellen (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">-Richtung up oder down).<a href="#cite_note-2">[2]</a>

Sie muss die übliche Normierungsbedingung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{ij}\int d{\vec {r}}_{1}d{\vec {r}}_{2}|\psi _{ij}|^{2}=1}">

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</munder>

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</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{ij}\int d{\vec {r}}_{1}d{\vec {r}}_{2}|\psi _{ij}|^{2}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d57adb1d34e7735532cfc57a743364883a27889.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:22.908ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \sum _{ij}\int d{\vec {r}}_{1}d{\vec {r}}_{2}|\psi _{ij}|^{2}=1}" loading="lazy"> erfüllen. Dieser allgemeine Spinor kann als 2×2-<a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a>

</mrow>

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<mtr>

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</mtable>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}\psi _{\uparrow \uparrow }&\psi _{\uparrow \downarrow }\\\psi _{\downarrow \uparrow }&\psi _{\downarrow \downarrow }\end{smallmatrix}}{\bigr )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06e0790d6425c2dfd907e0529b4f8d95cdb7f3a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.653ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}\psi _{\uparrow \uparrow }&\psi _{\uparrow \downarrow }\\\psi _{\downarrow \uparrow }&\psi _{\downarrow \downarrow }\end{smallmatrix}}{\bigr )}}" loading="lazy"> dargestellt werden und folglich auch

als <a href="Linearkombination" title="Linearkombination">Linearkombination</a> einer beliebigen <a href="Basis_(Vektorraum)" title="Basis (Vektorraum)">Basis</a> von vier (im <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> der 2×2-Matrizen) <a href="Orthogonal" class="mw-redirect" title="Orthogonal">orthogonalen</a> konstanten Matrizen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{k}^{i}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{k}^{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3baf5e5afb684b6fc44b54b0eb3d98c41a521d65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.683ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{k}^{i}}" loading="lazy"> mit <a href="Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">skalaren</a> Koeffizientenfunktionen

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{i}^{k}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b657d98c21f290d43379bbaf39f6032deaa0869.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.259ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \phi _{i}^{k}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})}" loading="lazy"> als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\sum _{ik}\phi _{i}^{k}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}){\boldsymbol {\sigma }}_{k}^{i}}">

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\sum _{ik}\phi _{i}^{k}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}){\boldsymbol {\sigma }}_{k}^{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eaa860611fdb85a46be0a4e1fd3cc4bb78801469.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:21.545ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\sum _{ik}\phi _{i}^{k}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}){\boldsymbol {\sigma }}_{k}^{i}}" loading="lazy">. Eine geeignete Basis wird gebildet aus einer <a href="Antisymmetrische_Matrix" class="mw-redirect" title="Antisymmetrische Matrix">antisymmetrischen</a> Matrix (mit Gesamtspin <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ae0fc3192b864f55a46749d8a64e7cf7783d04c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.76ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S=0}" loading="lazy">, entsprechend einem <a href="Singulett-Zustand" class="mw-redirect" title="Singulett-Zustand">Singulett-Zustand</a>)

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{0}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\uparrow \downarrow -\downarrow \uparrow )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27606b4d3f44dd06a8d4d3c8039850bf06922404.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.034ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{0}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\uparrow \downarrow -\downarrow \uparrow )}" loading="lazy"> und drei <a href="Symmetrische_Matrix" title="Symmetrische Matrix">symmetrischen</a> Matrizen (mit Gesamtspin <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5e2b58c1aaaf2718fb801e97bf21d1f72726372.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.76ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S=1}" loading="lazy">, entsprechend einem <a href="Triplett-Zustand" class="mw-redirect" title="Triplett-Zustand">Triplett-Zustand</a>)

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{1}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\uparrow \downarrow +\downarrow \uparrow )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4573c7a6b7321db92c7d888b1fbd6e277f9b66ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:29.756ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{1}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\uparrow \downarrow +\downarrow \uparrow )}" loading="lazy">,

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{1}^{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}=\;\uparrow \uparrow ,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c957db87b685ec66e56510a4c603ec624d66490.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:17.116ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{1}^{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}=\;\uparrow \uparrow ,}" loading="lazy">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{-1}^{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}=\;\downarrow \downarrow .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/785d225d8aabf1f081855006642c40d4d989dbab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:18.395ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{-1}^{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}=\;\downarrow \downarrow .}" loading="lazy">

Es ist leicht zu zeigen, dass der Singulett-Zustand <a href="Invariante_(Mathematik)" title="Invariante (Mathematik)">invariant</a> unter allen <a href="Drehung" title="Drehung">Drehungen</a> ist (eine skalare Größe), während das Triplett auf einen gewöhnlichen Raumvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d993dce0df7a03512e7138127aeb449a27809c7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.083ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}" loading="lazy"> mit den drei Komponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{x}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{x}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88fcf9f5f6977cc88df9fc0a15606d01635ad8f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.203ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{x}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{y}={\tfrac {i}{\sqrt {2}}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}">

<msub>

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</msub>

<mfrac>

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</msqrt>

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</mstyle>

</mrow>

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<mtr>

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<mtr>

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</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{y}={\tfrac {i}{\sqrt {2}}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/088d5e2877153c5ce5cd24f5555d28ba9fcd0424.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.801ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{y}={\tfrac {i}{\sqrt {2}}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{z}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

<mtr>

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</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{z}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63658f135072d4124e77c8e15003caf06d4222ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.753ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{z}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}}" loading="lazy"> abgebildet werden kann.

Da im obigen (skalaren) Hamiltonian alle Spinwechselwirkungsterme zwischen den vier Komponenten von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7482208ebcc9b05c4c3bfec994cf25901c1f6c8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.762ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}" loading="lazy"> vernachlässigt werden (z. B. ein externes <a href="Magnetfeld" class="mw-redirect" title="Magnetfeld">Magnetfeld</a>, oder <a href="Relativistischer_Effekt" class="mw-redirect" title="Relativistischer Effekt">relativistische Effekte</a> wie <a href="Spin-Bahn-Wechselwirkung" class="mw-redirect" title="Spin-Bahn-Wechselwirkung">Spin-Bahn-Wechselwirkungen</a>), können die vier <a href="Schr%C3%B6dingergleichung" title="Schrödingergleichung">Schrödingergleichungen</a> unabhängig voneinander gelöst werden.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

Der Spin kommt hier nur ins Spiel durch das <a href="Pauli-Prinzip" title="Pauli-Prinzip">Pauli-Prinzip</a>, das für <a href="Fermion" title="Fermion">Fermionen</a> (wie Elektronen) die Antisymmetrie bei simultaner Vertauschung von Spin und Koordinaten fordert, also:

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{ij}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=-{\boldsymbol {\psi }}_{ji}({\vec {r}}_{2},\,{\vec {r}}_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6ec40ef82961397a1c54c4926b6f11307d69611.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:26.954ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{ij}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=-{\boldsymbol {\psi }}_{ji}({\vec {r}}_{2},\,{\vec {r}}_{1})}" loading="lazy"></dd></dl>

Parahelium ist damit der Singulett-Zustand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\phi _{0}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}){\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{0}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\phi _{0}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}){\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4cd76d606797a9443acf2ab252dd4078facc57aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.733ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\phi _{0}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}){\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{0}}" loading="lazy"> mit einer symmetrischen Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{0}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=\phi _{0}({\vec {r}}_{2},\,{\vec {r}}_{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{0}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=\phi _{0}({\vec {r}}_{2},\,{\vec {r}}_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/262e21bd3c96bab8ef3c6aec3a9645fca6ed8712.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.548ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi _{0}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=\phi _{0}({\vec {r}}_{2},\,{\vec {r}}_{1})}" loading="lazy"> und Orthohelium ist der Triplett-Zustand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{m}=\phi _{1}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}){\boldsymbol {\sigma }}_{m}^{1},\;m=-1,0,1}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{m}=\phi _{1}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}){\boldsymbol {\sigma }}_{m}^{1},\;m=-1,0,1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7832ee028ffb85a97094036fb454a192a5b4482.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.211ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{m}=\phi _{1}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2}){\boldsymbol {\sigma }}_{m}^{1},\;m=-1,0,1}" loading="lazy"> mit einer antisymmetrischen Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{1}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=-\phi _{1}({\vec {r}}_{2},\,{\vec {r}}_{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

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</mover>

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</mrow>

</msub>

<msub>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{1}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=-\phi _{1}({\vec {r}}_{2},\,{\vec {r}}_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/667083f35ec0f96783c18d35d0f0f3963ca61e29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.356ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi _{1}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})=-\phi _{1}({\vec {r}}_{2},\,{\vec {r}}_{1})}" loading="lazy">. Wenn der Elektron-Elektron-Wechselwirkungsterm ignoriert wird (als erste Näherung), können beide Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{x},\;x=0,1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{x},\;x=0,1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd65672cc9415e08779a9bbfda9f2df532706190.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.024ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{x},\;x=0,1}" loading="lazy"> als Linearkombinationen von zwei beliebigen (<a href="Orthonormalit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Orthonormalität">orthogonalen und normierten</a>) Ein-Elektron-<a href="Eigenfunktion" class="mw-redirect" title="Eigenfunktion">Eigenfunktionen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{a},\varphi _{b}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{a},\varphi _{b}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc6f0308513a2d6a2df4507509433cf3d3d384f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.114ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{a},\varphi _{b}}" loading="lazy"> geschrieben werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{x}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{a}({\vec {r}}_{1})\varphi _{b}({\vec {r}}_{2})\pm \varphi _{a}({\vec {r}}_{2})\varphi _{b}({\vec {r}}_{1}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6279a8fe288b19f2ccbe4704ad7c2ae3689f84c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:39.839ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \phi _{x}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{a}({\vec {r}}_{1})\varphi _{b}({\vec {r}}_{2})\pm \varphi _{a}({\vec {r}}_{2})\varphi _{b}({\vec {r}}_{1}))}" loading="lazy"> oder für die Sonderfälle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{b}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{b}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3404ccf7f009be89dabab657a615f2b587a2c074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.178ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{b}}" loading="lazy"> (beide Elektronen haben identische Quantenzahlen, nur für Parahelium): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{0}=\varphi _{a}({\vec {r}}_{1})\varphi _{a}({\vec {r}}_{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{0}=\varphi _{a}({\vec {r}}_{1})\varphi _{a}({\vec {r}}_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/633b699a05c5f1f04ace9529a2188b68beb8985b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.955ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi _{0}=\varphi _{a}({\vec {r}}_{1})\varphi _{a}({\vec {r}}_{2})}" loading="lazy">. Die Gesamtenergie (als <a href="Eigenwert" class="mw-redirect" title="Eigenwert">Eigenwert</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">) ist dann in allen Fällen gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=E_{a}+E_{b}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=E_{a}+E_{b}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a2942823dc64553c53fd0081dcfc377fb828a2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.184ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E=E_{a}+E_{b}}" loading="lazy"> (unabhängig von der Symmetrie).

Das erklärt das Fehlen des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1^{3}\mathrm {S} _{1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1^{3}\mathrm {S} _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a319c1b9292fb7a08e6880f1683c7631a72f4800.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.563ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 1^{3}\mathrm {S} _{1}}" loading="lazy">-<a href="Zustand_(Quantenmechanik)" title="Zustand (Quantenmechanik)">Zustands</a> (mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{b}=\varphi _{1s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{b}=\varphi _{1s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72539553e92cae8cecbe7125a7cbf79a502dabca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.622ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{b}=\varphi _{1s}}" loading="lazy">) für Orthohelium, wo folglich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{3}S_{1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{3}S_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8df642b2b69070c095dbd4bcc6e2539794e23ee5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.696ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 2^{3}S_{1}}" loading="lazy"> (mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{1s},\varphi _{b}=\varphi _{2s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{1s},\varphi _{b}=\varphi _{2s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98860118b2a503da35f50b253f1d8f6903f2127b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.002ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{1s},\varphi _{b}=\varphi _{2s}}" loading="lazy">) der <a href="Metastabilit%C3%A4t" title="Metastabilität">metastabile</a> Grundzustand ist.

(Ein Zustand mit den <a href="Quantenzahl" title="Quantenzahl">Quantenzahlen</a>: <a href="Hauptquantenzahl" class="mw-redirect" title="Hauptquantenzahl">Hauptquantenzahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">, <a href="Gesamtdrehimpulsquantenzahl" class="mw-redirect" title="Gesamtdrehimpulsquantenzahl">Gesamtspin</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy">, <a href="Drehimpulsquantenzahl" class="mw-redirect" title="Drehimpulsquantenzahl">Drehimpulsquantenzahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> und <a href="Gesamtdrehimpuls" title="Gesamtdrehimpuls">Gesamtdrehimpuls</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J=|L-S|\dots L+S}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J=|L-S|\dots L+S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1ffc7860f11f178006a3272e8e9cd7fb222e423.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.206ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle J=|L-S|\dots L+S}" loading="lazy"> wird mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n^{2S+1}L_{J}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n^{2S+1}L_{J}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba4eec484e698de1419f2c7f938c7a070e0d19cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.465ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle n^{2S+1}L_{J}}" loading="lazy"> bezeichnet.)

Wenn der Elektron-Elektron-Wechselwirkungsterm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{r_{12}}}}">

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{r_{12}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b54a444bc25086cef05ce62e56db86207b29455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:3.077ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{r_{12}}}}" loading="lazy"> einbezogen wird, ist die Schrödingergleichung nicht <a href="Separabilit%C3%A4t_(Quantenmechanik)" title="Separabilität (Quantenmechanik)">separabel</a>. Aber auch dann, wenn er vernachlässigt wird, können alle oben beschriebenen Zustände (sogar mit zwei identischen Quantenzahlen, wie

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1^{1}\mathrm {S} _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ac96dad74c8d03ada465676541fa9bee6547939.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.563ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 1^{1}\mathrm {S} _{0}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\varphi _{1s}({\vec {r}}_{1})\varphi _{1s}({\vec {r}}_{2}){\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{0}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\varphi _{1s}({\vec {r}}_{1})\varphi _{1s}({\vec {r}}_{2}){\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11e7147d19ac658d0d982d9164494e925221288f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.373ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\varphi _{1s}({\vec {r}}_{1})\varphi _{1s}({\vec {r}}_{2}){\boldsymbol {\sigma }}_{0}^{0}}" loading="lazy">) nicht als Produkt von Ein-Elektron-Wellenfunktionen geschrieben werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi _{ik}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})\neq \chi _{i}({\vec {r}}_{1})\xi _{k}({\vec {r}}_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d6ce952746d240fb5ec8ffeacd78ba12d1229a2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.588ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi _{ik}({\vec {r}}_{1},\,{\vec {r}}_{2})\neq \chi _{i}({\vec {r}}_{1})\xi _{k}({\vec {r}}_{2})}" loading="lazy"> – die Wellenfunktion ist <a href="Quantenverschr%C3%A4nkung" title="Quantenverschränkung">verschränkt</a>.

Man kann nicht sagen, Teilchen 1 ist in Zustand 1 und das andere in Zustand 2; und man kann keine Messungen an einem Teilchen ausführen, ohne das andere zu beeinflussen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Heliumatom" class="extiw external" title="wikt:Heliumatom">Wiktionary: Heliumatom</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikiversity.org/wiki/en:The_periodic_table/Helium" class="extiw external" title="v:en:The periodic table/Helium">Wikiversity: Helium – Periodensystem</a> – Kursmaterialien (englisch)</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="John_Stewart_Bell" title="John Stewart Bell">John Stewart Bell</a>: Quantenmechanik, Sechs mögliche Welten und weitere Artikel. de Gruyter, Berlin 2015, ISBN 978-3-11-044790-3, S. 42, 65.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> P. Rennert, H. Schmiedel, C. Weißmantel: Kleine Enzyklopädie Physik. VEB Bibliographisches Institut, Leipzig 1988, S. 192–194.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik. Band III: Quantenmechanik. Akademie-Verlag, Berlin 1971, Kap. IX, S. 218.

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4159505-1">4159505-1</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-04-04" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Heliumatom&oldid=254859001">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>